El pulgar opuesto, la razón y los sentimientos son las características que nos sitúan por encima de los demás animales (principalmente las dos primeras).

En el transcurso de muchos siglos el hombre ha venido aceptando que en algunos ámbitos de la existencia lo más adecuado es confiar en el raciocinio: por ejemplo, en tiempo de los griegos se creía que el sol era el dios Apolo, quien cada día nos favorecía con sus rayos, pero ahora se sabe que es una estrella y entendemos qué son esos rayos, cómo aparecen, qué puede hacerse con ellos y hay una estimación del tiempo que tiene de vida el sol y de cuánto le falta para apagarse; todo esto es gracias a la capacidad de observación y raciocinio que tiene el hombre, cristalizada en la ciencia. Nuestra razón hasta ahora es incapaz de muchas cosas, como elegir a quién amar, nuestra razón es vilipendiada en algunos círculos místicos, nuestra razón es abusada cada vez que en su nombre se dice una estupidez, como negar el calentamiento global o afirmar que existen aves que pueden sumergirse en el agua de un pantano sin ensuciarse.

Nuestro cerebro, gracias a la tv y a las miles de entretenciones que ofrece internet, es la menos usada de las partes del cuerpo. La educación es culpable en parte, pero me consuelo pensando que la educación puede durar toda la vida, y yo mismo me eduqué investigando los temas en este artículo, presentados aquí como invitación a utilizar el raciocinio.

Empecemos demostrando que 2 = 1. Sean dos números reales x, y tales que x = y. Por lo tanto, x² = y² = xy, de ahí concluimos que x² – y² = xy – y² y por lo tanto, factorizando, (x+y)(x-y) = y(x-y). Dividimos ahora entre x-y para simplificar la expresión, obteniendo x+y = y, y por lo tanto 2y = y. Deducimos ahora que 2 = 1.

Conjunto maximal. Mientras encontramos el error en la anterior “demostración”, veamos un concepto importante en matemáticas y en la vida real. Un esposo joven recibe oferta de trabajo; es atractiva, buen sueldo y oficina con vista al parque, pero es en otra ciudad. Sabe que si plantea el asunto a su esposa, ella inmediatamente revirará con mil razones que se reducen a una: su mamá vive en otra ciudad, ahí se tendrían que mudar. La estrategia del esposo es evitar a toda costa el chantaje y elaborar una lista de ventajas para aceptar ese puesto, que contrarresten el deseo de ella de vivir cerca de la storrrba[1], alias suegra: creará un conjunto maximal, en este caso una lista de irrefutable de ventajas del nuevo trabajo. Más sencillo es considerar el conjunto de los números enteros del 0 al 100: 0, 1, 2, 3,…, 99, 100, y extraer de ahí un subconjunto, es decir elegir algunos de esos números, tales que si sumamos dos de los números elegidos, la suma es diferente de 100. Por ejemplo, podemos elegir 11, 12, 13 y 40, pero no podemos elegir 3, 10 y 90. Se trata de elegir un subconjunto maximal M, el que tenga el mayor número de elementos, que cumplan la regla: si a, b están en M, la suma a+b no es 100. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto M que usted eligió?

Razonamiento jurídico. Algunas mujeres sustentan su derecho al aborto con el argumento

La mujer es libre de hacer lo que quiera con su cuerpo, por lo tanto puede abortar.

Suponiendo que el razonamiento es correcto, elabore usted una opinión sobre el siguiente razonamiento:

Puesto que cada quien es libre de hacer con su cuerpo lo que quiera, por consiguiente es aceptable la eutanasia.

Yo no pretendo justificar el aborto ni la eutanasia, simplemente expongo dos argumentos frecuentes e invito a usted a debatir sobre los argumentos presentados. Compare esto con un club de debate, con el nuevo sistema penal: un abogado defiende al acusado, otro lo acusa; las convicciones personales de estos dos abogados no entran en juego.

Estrategia de empate. En el juego del gato no hay estrategia ganadora, a lo sumo existe una estrategia de empate; también hay una estrategia perdedora (suponiendo que el enemigo quiere ganar). Describa cuál es la estrategia de empate. Una película vieja trata el tema en forma interesante: War Games (1983), que habla del juego en el contexto de un posible holocausto nuclear.

Estrategia ganadora. Tenemos 28 cerillos y dos jugadores J1, J2. En la primera jugada, J1 elige de 1 a 4 cerillos, luego J2 elige entre los cerillos que quedan de 1 a 4 cerillos, y se van alternando los turnos con esa misma regla (pueden elegir 1, 2, 3, ó 4 cerillos del resto). Gana el jugador que puede elegir el último cerillo. Describa una estrategia ganadora para J1. ¿Existe una estrategia ganadora para J2?

Juegos de suma cero. Son aquellos en que las pérdidas de un jugador parte corresponden exactamente al total de las ganancias de los demás jugadores. Por ejemplo ajedrez, damas, go, futbol, black Jack, póker. El juego del gato es de suma cero; el empate se expresa como 0 + 0 = 0. En black Jack la banca tiene ventaja: i) en caso de empate en puntos, ella gana; ii) si algún jugador (que siempre juega antes de la banca) se pasa de 21, el jugador pierde. Por lo tanto, la probabilidad de ganar es mayor para la banca. Sin embargo, un jugador con buena memoria y habilidades matemáticas puede llevar en su cabeza la cuenta de las cartas que van apareciendo y decidir en base a probabilidades. Discuta si a pesar de estas observaciones, black Jack es de suma cero.

La bolsa. Cuando una empresa hace una oferta pública de acciones, el dinero recibido de los inversionistas va a parar en la empresa, salvo las comisiones del agente y de la bolsa de valores. Una vez que estas acciones fueron compradas, permanecen en el mercado hasta que el tenedor decide venderlas (necesita dinero, subieron de valor, piensa que van a bajar de valor…). Consideremos las acciones de Apple en el mercado. Su compraventa no afecta directamente a Apple: Juan vende en $12 a Pedro las acciones que compró a $10, su ganancia son $2 menos comisiones, que son un porcentaje pequeño; la ganancia de Juan fue pagada por Pedro, quien posee ahora un papel (electrónico) mientras no lo cambie por dólares, y asume el riesgo de que bajen las acciones. ¿Considera usted que la compra-venta de acciones entre particulares es un juego de suma cero?

Pirámides financieras. De vez en cuando aparecen estafadores vendiendo la ilusión de algo con mucho valor, valor que existe mientras hay compradores de la ilusión: te vendo en $100 el derecho a formar parte de nuestro grupo, yo me quedo con $50 y paso $50 al que me vendió a mí. Una vez adentro, podrás invitar a otros, y cada vez que cobres $100 me darás a mí $50, te quedarás con $50, y yo pasaré más arriba mi cuota de $25, es decir la mitad. No hay un bien que se adquiera, salvo el derecho de pertenecer al grupo e invitar a otros. Este esquema funciona mientras existan personas dispuestas a invertir $100 a cambio del privilegio, y esas personas se agotan tarde o temprano. Los que consiguen formar pirámides de compradores debajo de ellos se pueden volver millonarios, a costa de las “inversiones” de los que entraron después. Llamando a esto “juego”, en el sentido conceptual del término, ¿se trata de un juego de suma cero?

Crack de la bolsa en 2008. Entre 2000 y 2008 se “calentó” el mercado inmobiliario en EEUU, alentado por el dinero barato de la FED, casi a tasa cero. Abundando el dinero, los desarrolladores vendían casas a todo el mundo, y la oferta excesiva degradó el patrón de solvencia de los compradores y al final eran clientes NINJA (No income, no job, no assets: sin ingreso, sin trabajo, sin bienes). Financiando los bancos, los desarrolladores inmobiliarios tenían resuelto su problema: el banco les pagaba y se quedaba con el crédito, corriendo el riesgo de cobrar o no cobrar la hipoteca. Los financieros creativos encontraron una manera de resolver este problema: empaquetaban las hipotecas y las vendían como valores en la bolsa, como papel comercial; con nombres estrafalarios, lo que llamaremos GranInversiónInmobiliaria  no era más que un montón de hipotecas vendidas a inversionistas con la bendición de nombres como Goldman Sachs, J.P. Morgan, Morgan Stanley: estos operadores eran intermediarios en la cadena compradores-de-casa, desarrollador, banco, operador de bolsa, inversionista. Como en el juego de la escoba, el riesgo era de quien estaba bailando con la escoba, en este caso el tenedor de GranInversiónInmobiliaria, si el mercado caía. El esquema se sofisticó mucho y los operadores recurrieron a una enorme cantidad de trucos para hacer atractiva una inversión respaldada por hipotecas: en última instancia, si los compradores de casas pagaban su hipoteca, la inversión recibiría las ganancias prometidas, de otra forma la inversión no sirve para nada. Refinaron el truco, creando inversiones sobres inversiones sobre inversiones, convirtiendo a la bolsa en un casino. Llegó un momento en que ciertos conocedores dudaron del valor de GranInversiónInmobiliaria, y comunicaban sus dudas al agente de bolsa; éste aprovechaba sus contactos y convencía a una aseguradora de cubrir el riesgo de que la inversión bajara de valor, “cosa que por supuesto no sucedería”, regresaba el agente con el conocedor y le decía: “no te preocupes, tú compras esto, pagas una pequeña póliza a AIG y estás cubierto en caso de que la inversión baje de X dólares”. El conocedor aceptaba inversión con prima del seguro, lo que disminuiría un poco sus ganancias pero no sufriría pérdidas si el asunto se ponía feo. Al final se convirtió en un juego de apuestas: yo digo que GranInversiónInmobiliaria bajará a menos de $1 dólar en el transcurso de seis meses y la compro a $10 dólares, AIG me asegura un valor de $12 dólares, le entro. Cuando los clientes ninja dejaron de pagar, cosa inevitable por la definición de ninja, el mercado se vino abajo y toda GranInversiónInmobiliaria perdió valor. Los perdedores fueron los que se quedaron en su cartera con GranInversiónInmobiliaria y bonos respaldados por ellas, los ganadores fueron los que se deshicieron a tiempo o compraron seguros. La realidad fue mucho más complicada porque las aseguradoras como AIG no tenían dinero suficiente para pagar sus compromisos, grandes nombres como Lehman Brothers, Merryll Linch, AIG estaban en quiebra; algunas quebraron, otras fueron adquiridas por sus competidores, y el gobierno se gastó cerca de un trillón de dólares (un millón de millones) en pagar el rescate de las empresas con mejores amigos en Washington. Los más vivos entendieron cuál era el juego y se retiraron a tiempo, como Goldman Sachs.

La crisis se originó por tres causas: 1) dinero baratísimo de la FED (0.25% anual), 2) créditos hipotecarios malos, 3) permitir que los bancos inventaran instrumentos financieros respaldados en ilusiones. Como con todos los grandes crímenes, se le echó tierra al asunto, agarraron unos pocos chivos expiatorios, mientras que actualmente Gary Cohn (Presidente de Goldman Sachs durante esta crisis) es principal asesor económico de Trump, cuya administración pretende anular las leyes creadas por Obama en 2009 para atarles las manos a los banqueros. En mi opinión, este crack financiero (y los demás que ha habido en la historia) son ejemplos de juegos de suma cero. ¿Qué piensa usted?

Inducción matemática. Este principio es parte de la teoría de números naturales N = {1, 2, 3, …}, que proporciona una manera de probar afirmaciones relacionadas a todos los números naturales. Ofrece una salida, ante la imposibilidad de checar uno por uno todos los números naturales para ver si es cierta una afirmación.

Si n es un número natural, sea A_n una afirmación referida a los primeros n números naturales (por ejemplo: “cualquier número entre 1 y n es par o impar”).
i) Se prueba que la afirmación A₁ es cierta. A este paso se le llama “anclar la inducción”.
ii) Supongamos que cuando nos consta que A_n es cierta, entonces forzosamente sucede que A_n+1 también es cierta.
El principio de inducción nos asegura que estas condiciones, la afirmación es cierta para todos los números naturales.

En términos más coloquiales: primero veo que es cierta para el caso n=1 (anclar la inducción). Luego supongo que es cierta para n, y en esta suposición demuestro que es cierta para n+1. Es como subir una escalera, que consta básicamente de dos instrucciones: i) localizar el primer escalón, y subir a él. ii) colocado en cualquier escalón, tengo que saber cómo pasar al siguiente. Con estas dos instrucciones, aseguro que puedo subir toda la escalera.

Como ejemplo, calculemos la suma de los n primeros números 1 + 2 + 3 + … + n, que es igual a  n(n+1)/2. El maestro de Gauss quería entretener a la clase mientras veía sus mensajes en Whatsapp, y los puso a sumar desde 1 hasta 1000, esperando que fueran sumando 1+2 = 3, luego 3+3 = 6, luego 6+4 = 10, etc. Unos segundos después Gauss levanta su mano con la respuesta: 500,500 = 1000×1001/2,  y se le acabó el tiempo libre al profesor.

El truco de Gauss fue observar que 1001 = 1000+1 = 999+2 = 998 +3 =…, y que hay exactamente 500 sumandos, es decir 1000/2; se multiplica entonces la constante 1001 por 1000/2 y tenemos la respuesta.

La prueba por inducción es más laboriosa:

i) Es obvio que 1 es la suma desde 1 hasta 1: 1 = 1x(1+1)/2 que es la afirmación A₁.
ii) Supongamos A_n es cierta. Por lo tanto 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2. De aquí concluimos que 1 + 2 + 3 + … + n + n+1 = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n+2)/2.

La misma habilidad que usamos para analizar los ejemplos anteriores, para contar el cambio en el super, para el ajedrez, nos puede servir para ver si en México podemos tener efectivamente separados a negocios y gobierno. Hoy (8.6.2017) publica El Universal la noticia de que $1,077 millones han sido pagados a empresas ligadas a 15 legisladores; están dignamente representados en esta lista PRI, PAN, Morena, Encuentro Social. ¿Considera usted que será posible que los legisladores se concentren en legislar y no hagan negocios con el gobierno?

Ciencia en Preparatoria. Un maestro de Idaho se distingue por la manera en que enseña ciencias a sus alumnos, recomiendo el artículo que describe su trabajo: https://www.washingtonpost.com/national/health-science/how-to-teach-kids-about-climate-change-where-most-parents-are-skeptics/2017/06/03/1ad4b67a-47a0-11e7-98cd-af64b4fe2dfc_story.html?hpid=hp_hp-top-table-main_idaho-1118am%3Ahomepage%2Fstory&utm_term=.91ff146bcdca

¿Por qué mencioné el pulgar opuesto al principio del artículo?

[1] La palabra está descrita en mi libro Una vida en historias; puede leerse en https://jlgs.com.mx/relatos-cortos/la-sabiduria-de-los-lenguajes/ .

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