Mundo sin cero

Solamente hay 10 tipos de personas:
las que entienden el lenguaje binario, y las que no.

Uno de los artículos más leídos en este sitio es Números primos y criptografía, un tema de mucha actualidad. Varios lectores me han sugerido temas científicos, y creo que la criptografía es una buena alternativa; con este artículo empiezo una serie dedicada a ella, hablando del cero.

Dependiendo de la estima que cada quien tenga por su celular, debemos estar agradecidos o repudiando la memoria de Euclides, ya que el mundo moderno se debe en gran parte a la herencia que él y otros matemáticos griegos nos dejaron; esto no es un giro retórico, es una realidad.

Uno de los genios a los que se atribuye la creación de las computadoras fue John von Neumann, quien colaboró en el Proyecto Manhattan, la iniciativa norteamericana para crear la bomba atómica antes que los alemanes, y detonarla en Alemania de ser posible; la bomba estuvo lista en el verano de 1945, cuando Alemania ya se había rendido, pero con el noble propósito de salvar vidas de soldados norteamericanos, el presidente Truman mandó matar unos cuantos miles de civiles japoneses, lanzando la bomba sobre Hiroshima y Nagasaki.

Cuando los científicos de EEUU trabajaban en Los Álamos tuvieron que hacer muchísimos cálculos numéricos porque la bomba se basa en el concepto de masa crítica, que significa una determinada cantidad de material radioactivo reunida en un determinado volumen, para producir una reacción en cadena, liberando enormes cantidades de energía. La determinación de esa masa crítica de U238 o de Plutonio, y del volumen y la forma que debería tener el espacio físico para juntar ahí el material era todo un reto científico. No es nada más cuestión de “juntar” dos mitades de masa crítica, porque podría suceder, por ejemplo, que se generara una mini reacción en cadena, algo así como los cerillos que empiezan a arder pero inmediatamente se apagan; o bien, que explotara en el laboratorio por cálculos mal hechos. Entre otras muchos factores, descubrieron que había que comprimir el material, que la compresión debería ser de afuera hacia adentro (una implosión), y todos los cálculos asociados eran una enormidad sin computadoras. A von Neumann lo convocaron como experto en detonaciones de explosivos, y ya estando ahí contribuyó con su granote de arena, generando ideas como ametralladora para la creación de las primeras computadoras electrónicas. Linux, Windows, CPM, Solaris y otros sistemas operativos; C, Pascal, C++, Basic, Fortran; las primeras portátiles del tamaño de un escritorio; los modernos iPads, celulares y laptops, todo esto tiene su origen en el Proyecto Manhattan. Podemos estar agradecidos o con remordimiento de conciencia, pero el celular moderno se creó sobre las ruinas de Nagasaki.

Von Neumann decía que las matemáticas heredadas de los griegos, especialmente Euclides, han sido críticas para el desarrollo de la moderna civilización, observando tres características de ellas:

  1. Libres de contenido emocional.
  2. Libres de contenido ético.
  3. Libres de contenido político.

En otras palabras, las matemáticas no tienen sentimientos, ni son buenas ni malas, no apoyan a republicanos ni a demócratas; son una disciplina mental, que consiste en una serie de razonamientos y teoremas obtenidos a partir de axiomas. No tiene sentido preguntarse si es moral el teorema de Pitágoras, tampoco vale la pena argumentar si las matemáticas sirven al Marxismo-Leninismo o al capitalismo; las matemáticas son un milagro de la mente, una construcción libre del espíritu, que por circunstancias que están (y yo creo que estarán) fuera de nuestra comprensión, constituyen una herramienta que nos sirve para comprender el mundo, lo que puede decirse poéticamente:

Las matemáticas son el lenguaje que habla Dios cuando quiere explicar el mundo.

Empezaron con la necesidad que el hombre tiene de contar, desde que fue consciente de sí mismo y de su entorno: contar los animales de su rebaño, las manzanas que podía recoger con sus manos, el número de sus hijos y el de sus amigos. A través de una larga historia, la herramienta creada por el hombre para resolver problemas prácticos, los números, evolucionaron y ahora tenemos números naturales, enteros, racionales (los quebrados), irracionales como π, números reales y complejos, todos ellos descendientes del 1, 2 y 3.

El primer gran  brinco científico que dio el hombre fue la creación de los números 1, 2, 3, … llamados números naturales; le atribuyen al matemático Leopold Kronecker el dicho

Los números naturales son obra de Dios
todos los demás son invento del hombre.

Con los números naturales vivió el hombre durante muchos siglos; los romanos inventaron la famosa y engorrosa notación I, II, III, IV, V, VI,…X, … L, … C, … M, para representar algunos de ellos. Aunque el concepto de “mil” inmediatamente es relacionado con diez por cien,  o cincuenta por vente, el símbolo utilizado, M, no decía nada de estas multiplicaciones. Podríamos razonar que objetar el símbolo es un asunto trivial, en última instancia nos da lo mismo representar a mil con T, Ä, Ы, Ю, Я o lo que sea. La respuesta es sí y no: en caso de nada más buscar un símbolo que nos guste (los romanos eligieron M por la palabra latina para designar mil, lo mismo que C por la centena), efectivamente da lo mismo M o Z, pero es posible enriquecer los símbolos con algo que rebase el concepto de símbolo, la posición.

Mi insistencia en cuestionar la M está fundada: la razón es el siguiente paso natural después de inventar los números, es decir las operaciones que pueden realizarse con ellos. Empecemos con las simples cuatro operaciones básicas: intente usted sumar MMCCCXLVIII + MCDLXIX, intente ahora multiplicarlos, dividirlos o restarlos: es un problema práctico que atoró durante siglos el desarrollo de la aritmética, y con ella de la matemática que viene después, y por consiguiente de la ciencia. Pongamos un ejemplo actual, en contabilidad. Hoy en día casi no se habla de que “el balance checa”, es decir que Activo = Pasivo + Capital, porque los números involucrados son calculados mediante una computadora, pero pregunte usted a su papá o a alguien de mi generación cómo le hacían para que los balances checaran hace cuarenta años: había usar lápiz y unas calculadoras mecánicas para realizar una serie de sumas y restas que formaban una cadena larguísima, escritas en grandes folios de papel llamados “sábanas”, en donde un error en cualquiera de los eslabones “se arrastraba” hasta el resultado final, alterándolo y produciendo un chequeo incorrecto. Las computadoras hacen ese trabajo hoy en forma automática, pero lo pueden hacer porque manejan el sistema binario, y este sistema se creó porque disponemos del cero y el uno, y el cero fue importado a Europa por los árabes, hacia el siglo XI, mediante los números arábigos, los que usamos todos los días. Sin el concepto de cero, no existirían las computadoras.

Efectivamente, el gran invento de la numeración arábiga es el cero; muy pocas civilizaciones antiguas lo tuvieron (por ejemplo los mayas), y la ausencia del cero es posiblemente una de las causas por las que los griegos se fueron por el lado de la geometría en vez de centrarse en la aritmética, disciplina que es un callejón sin salida cuando no hay cero. Para empezar, la horrorosa multiplicación MMCCCXLVIII x MCDLXIX es comprensible (y ejecutable) si la escribimos como 2348 x 1469; luego, la imposibilidad de escribir números muy grandes, como 999,999,999,999 porque la notación romana requiere la invención continua de nuevos símbolos; y finalmente tenemos que algunas operaciones elementales nos dejan sin solución, por ejemplo: contaba yo con tres costales de trigo, uno lo vendí, otro se lo presté a mi hermano, otro lo consumimos en casa, ¿cuántos costales tengo? La respuesta obvia, “cero”, no existía en la numeración romana. Está bien, inventemos el cero, podría alegarse, pero todo lo que hemos ganado es un nuevo número, ¿no es así?

Es falso: la creación del cero abre las puertas a la notación posicional, el otro concepto fundamental encerrado en la numeración arábiga. Observemos que nos bastan diez símbolos 0, 1, 2, 3,…, 9 para expresar cualquier número, y esto se debe a que se introdujo el concepto de posición para determinar el papel que juegan esos diez símbolos: 1, 10, 100, 1000 empiezan con ‘1’, pero en el primer número el ‘1’ está en el lugar de las unidades, en el segundo en el de las decenas, luego centenas, luego miles. Este juego de símbolos fue posible porque contábamos con un símbolo “mudo”, el cero, que usamos para definir, por ejemplo

1000 := diez veces diez veces diez = diez x diez x diez (= 103 en notación compacta).

El número diez juega un papel circunstancial, elegido porque tenemos diez dedos, pero cualquier otro podría funcionar: dos, tres, doce, diez y seis, sesenta. Si elegimos tres, los símbolos serán 0, 1, 2 y representaremos el tres como 10, cuatro = 11, cinco = 12, seis = 20. Las computadoras utilizan el 2, con los únicos símbolos 0, 1; este es el famoso lenguaje binario. Se eligió por facilidad para la máquina, ya que los estados básicos de un circuito eléctrico son apagado y encendido = 0, 1. En este caso los números que son ‘1’ más una cadena de ‘0’ son las potencias de 2: 10 = 21, 100 = 22 (cuatro), 1000 = 23 (ocho), 10000 = 24 (diez y seis), etc., lo mismo que en el sistema decimal ‘1’ seguido de varios ceros es una potencia de diez. El manejo de estos símbolos con papel y lápiz es difícil por la longitud que adquieren inclusive números pequeños (mil veinticuatro = 10000000000) pero para la computadora es totalmente sencillo, y todo el mundo moderno, que depende de las computadoras, sería imposible sin cero.

Además de las computadoras, cualquier otra operación no elemental sería prácticamente imposible con números romanos, intente usted calcular el saldo de su tarjeta con esas cifras. La ciencia moderna sería imposible sin cero. La física moderna inicia con Newton y su famosa ley de la gravedad: dos cuerpos se atraen en proporción directa a sus masas y en relación inversa al cuadrado de sus distancias. La ley puede enunciarse con letras, pero para su aplicación concreta, ¿cómo se atraen el sol y la Tierra?, se requieren números, en este caso

Aquí, G es la constante de gravitación, r es la distancia entre los dos cuerpos, las m’s representan las masas de los dos cuerpos.

Una vez escrita la ley en términos matemáticos, el siguiente paso es calcular la atracción entre esos dos cuerpos, es decir efectuar las operaciones de la fórmula; luego tratar la situación de tres cuerpos (sol, Tierra y luna), luego juntar los demás planetas, etc. Todos estos asuntos, que científicos del siglo XVIII y XIX enfrentaron con papel y lápiz, hubieran sido imposibles inclusive para Gauss, Napier, Halley, Leibniz y cualquier hombre que no dispusiera del cero. La aspirina que muchos tomamos la produce Bayer en laboratorios equipados con computadoras, todos los coches tienen una computadora para controlar inyectores, flujo de oxígeno, frenos; los aviones son diseñados y probados en túneles de viento asistidos por computadoras; la electricidad que llega a las casas es controlada por una red de computadoras; la www, world-wide-web, nos comunica en segundos con el otro lado del mundo. En resumen, no hay aspecto de la vida humana moderna en donde falte la dependencia de las computadoras.

Filosofando como mexicano, sin cero no somos nada.


Comments

Mundo sin cero

  1. Muy constructivo tu artículo. Me gustó mucho y me hizo recordar cuando aprendí los números romanos, era divertido y requería de mucha atención para no equivocarme. No cabe duda que sin cero la vida sería un caos

    Gracias por compartirlo.

    Saludos,

    • Hola Pilar:
      Gracias por tu participación. Pienso continuar con algunos artículos sobre números primos y luego criptografía, porque una buena parte del arte moderno de cifrar los mensajes se basa específicamente en los números primos 2,3,5,7,11,13,17,19,…, etc. Ojalá despierten interés en mentes naturalmente curiosas como la tuya, o en cualquiera que quiera saber cómo se desfigura un mensaje para hacerlo irreconocible, y luego cómo se reconstruye a su estado original.
      JL

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