Euclides y el Quinto Postulado

a mi krok, por sus 23 años

La obra que más ha influido en el pensamiento científico son los Elementos de Euclides, escritos hacia 300 A.C. Paradójicamente, no es exactamente una obra científica, sino “nada más” trata de geometría y álgebra; pero el modelo de funcionamiento utilizado, el sistema lógico-deductivo que permea la obra completa, es el modelo en que se basa toda la ciencia moderna, desde el punto de vista de la manera en que se hacen los razonamientos científicos. Cada ciencia tendrá sus métodos particulares: física, medicina, biología, química; pero esos métodos tienen más bien que ver con la forma en que se recaban datos y se hacen experimentos, que con los razonamientos que se hagan con la información obtenida de sus observaciones; la forma en que se hacen los razonamientos en cualquier ciencia sigue el modelo de Euclides.

Los Elementos fueron parte del curriculum del hombre instruido hasta principios del siglo XX; después fue diluyéndose su estudio, se toca el tema de la geometría en muchos cursos, pero poco a poco ha sido desplazada la obra por la inevitable especialización a que se ve obligado cada hombre, cada vez más incapaz de tener un conocimiento general de las cosas del mundo, a medida que crece el conocimiento humano. La obra es muy importante por la razón mencionada en el párrafo anterior: fija, de una vez por todas, la manera más correcta de utilizar la mente humana para hacer razonamientos aplicables a la ciencia. Es posible que más adelante se descubra una forma mejor de utilizar nuestra mente, pero hasta hoy, la patentada por Euclides es la más adecuada.

Para entender en qué consiste esta manera de razonar, pueden compararse los Elementos con la Constitución. Nuestro Artículo 1º dice:

Todas las personas gozarán de los derechos humanos reconocidos en la constitución y en los tratados internacionales firmados por el Estado mexicano y no podrán suspenderse salvo en los casos y bajo las condiciones establecidas en la misma constitución; obliga a las autoridades mexicanas a respetar y proteger los derechos humanos y además, prevenir, sancionar y reparar las violaciones a los derechos humanos. Prohíbe la esclavitud en el país y protege a los esclavos que ingresen a territorio nacional. Prohíbe todo tipo de discriminación.

 El texto da por sobreentendido el lenguaje español, y los muy importantes conceptos de “persona”, “estado mexicano”, “territorio nacional” y “esclavos”. Enseguida, dice que cualquier persona gozará de los “derechos humanos” que se definirán más adelante, que las autoridades deben respetarlos, y que cualquier esclavo que entre al territorio nacional será libre, puesto que aquí está prohibida la esclavitud. Esta división en términos no definidos (dentro de la Constitución), junto con el establecimiento de reglas para tratar con esos términos, es precisamente lo que hacen los Elementos; por este detalle tan simple, junto con la modo deductivo de razonamiento, es que son tan importantes. No nada más la Constitución procede como los Elementos; de hecho, cualquier ley bien promulgada (están eximidas de esta obligación las misceláneas fiscales) tiene que actuar de esa manera.

Desde este punto de vista, los Elementos constan de tres partes:

  1. Definiciones básicas: punto, línea, extremos de la línea, línea recta, distancia, círculo, etc.
  2. Axiomas: son las expresiones relacionadas con las definiciones básicas que se consideran verdades evidentes, que no requieren demostración. Por ejemplo: dados dos puntos, es posible trazar una línea cuyos extremos sean esos dos puntos, y también: dado un punto y una distancia, es posible trazar un círculo con centro en ese punto y cuyo radio sea la distancia dada.
  3. Teoremas: razonamientos que están basados en definiciones básicas y en axiomas, que llegan a más conclusiones. Los razonamientos hechos en el teorema se llaman “demostración”. Un teorema puede utilizar en su razonamiento otros teoremas que ya hayan sido demostrados.

Examinando esta construcción 23 siglos después, vemos que es efectivamente necesaria: si se quiere avanzar con pasos firmes en alguna investigación, es necesario conocer:

  1. De qué hablamos: el equivalente de las definiciones básicas. Si se trata de física de partículas, daremos por aceptadas las nociones de átomo, núcleo, protón, electrón, trayectoria, carga, etc.
  2. Qué es lo que ya sabemos de nuestra materia de investigación. Lo podemos hacer corresponder a los axiomas, aligerando el concepto de “axioma” para incluir las propiedades ya conocidas de nuestro objeto de investigación. Por ejemplo, los electrones tienen carga negativa, los protones carga positiva, los neutrones carga neutra; esto ya se sabía desde hace 100 años y no lo vamos a cuestionar ahora.
  3. Nuestra investigación. En el caso de física, se hace una conjetura acerca de las cosas que investigamos, analizamos, hacemos experimentos, cálculos matemáticos, etc., y finalmente probamos o refutamos la conjetura, o bien llegamos a un resultado diferente, y la conjetura todavía queda por aceptarse o rechazarse.

Euclides trató en su obra de una manera especial la Geometría, que podemos pensarla como la disciplina que estudia el espacio en el que vivimos, y las relaciones de distancia, posición, tamaño, superficie y volumen de los objetos en este espacio. Por ejemplo, sí está incluido el estudio del círculo y sus propiedades (aquí llegaríamos a la definición del número ∏, pi), pero no está incluido el estudio de los colores ni los pesos de los objetos. Partió de lo que él llama “definiciones”, aceptando que más que “definiciones” son “descripciones”, por ejemplo: un punto es aquello que no tiene partes. Inmediatamente despues, postula Euclides los que en su opinión son verdades incontestables relacionadas con los puntos, líneas, círculos, etc., los famosos postulados:

Sea postulado lo siguiente:

Postulado 1: Dibujar una línea recta de cualquier punto a cualquier punto.

Postulado 2: Extender una línea recta finita continuamente a una línea recta (infinita).

Postulado 3: Describir un círculo con cualquier centro y radio.

Postulado 4: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

Postulado 5: (Postulado de las paralelas): si dos líneas L y M se cruzan con una tercera línea N en forma tal de que la suma de los ángulos interiores en un lado es menor a dos ángulos rectos, entonces las dos líneas L y M se cruzarán en ese lado de la línea N, si L y M se extienden lo suficiente.

Lo maravilloso de la obra de Euclides es que toda está basada precisamente en las definiciones básicas y en los cinco postulados. El resto del trabajo es nada más una obra de deducción, utilizando lo que sabe en un momento para avanzar un poco más en sus construcciones. Por ejemplo, inmediatamente después de los postulados, enuncia y demuestra su

Proposición 1: dada una línea recta finita (una línea recta entre los puntos A y B), entonces es posible construir un triángulo equilátero que tenga precisamente a la recta AB como uno de sus lados.

Usted podrá decir “eso es obvio”, y yo le responderé lo siguiente: “construya usted el triángulo, utilizando exclusivamente las definiciones y los postulados de Euclides”, que en la práctica se reduce al uso de la regla y el compás; probablemente usted será capaz, y en este caso, habrá probado la Proposición 1. En nuestra vida moderna tenemos la costumbre de dar por sentadas muchas cosas: penicilina, aviones, celulares, computadoras, la tierra gira alrededor del sol, etc. Es cierto, todas esas cosas o fenómenos son hechos cotidianos, pero detrás de todos y cada uno de ellos están siglos y siglos de observaciones y de análisis realizados con rigor lógico, que permitieron su construcción o descubrimiento. Por ejemplo, el hallazgo de la penicilina, hecho por Alexander Fleming en 1928: todos sabemos que si la comida se deja encima de la mesa se echa a perder, les salen hongos “y ya no sirve para nada”. Fleming razonó de otra manera, analizando lo que aparecía cuando dejaba penicilum rubens en un ambiente especial, exudaba una sustancia que tenía propiedades antibióticas, es decir, mataba algunos gérmenes. Su descubrimiento, basado en su persistencia, su habilidad para diseñar experimentos y para llevarlos a cabo, y su rigor lógico (no cualquier cosa dejada a temperatura ambiente se fermenta y produce penicilina, nada más algunas sustancias) lo llevaron a un descubrimiento que acabó con la tuberculosis, la sífilis y otras enfermedades que se habían llevado a la tumba a miles y millones de personas.

¿Sabe usted por qué no hacen aviones más y más rápidos, que vuelen más rápido que el sonido? La mayoría de los jets vuelan a velocidades entre 800 km/h y 900 km/h, y hay una razón práctica: para empezar, en la gran mayoría de los vuelos, los menores a 5000 km, no son necesarios aviones más veloces: por ejemplo, viajar del DF a Tijuana a 2000 km/h bajaría el tiempo marginalmente (porque el despegue y el aterrizaje, y las filas en los aeropuertos no variarían); en segundo término, los aviones costarían mucho más, porque los vuelos ultrasónicos enfrentan un problema cuando cruzan la barrera del sonido: se forma una “onda de choque” en las alas de los aviones que altera el flujo normal y esperado. ¿Qué significa “esperado”? Cuando el aire simplemente se desliza sobre la superficie de las alas, y la inclinación del ala al chocar con el aire es lo que produce una fuerza hacia arriba que mantiene sustentado al avión. Este comportamiento esperado se rompe al cruzar la barrera del sonido, porque el aire se vuelve turbulento en la superficie de las alas, y ya no es la superficie sedosa que acaricia el ala por debajo y la empuja hacia arriba. Por consiguiente, los diseñadores de aviones tienen que tomar muchas precauciones extra para poder cruzar esa barrera sin perder la figura, es decir, sin caerse.

Y así como estos dos ejemplos, podría citar otros muchos en donde el sentido común de lo que “es obvio”, ni es tan común ni es tan obvio. La ciencia merece respeto, para empezar por los Elementos de Euclides.

A lo largo de los siglos, a los geómetras les molestó el quinto postulado. Se le conoce como el postulado de las paralelas, y la siguiente es una forma lógicamente equivalente al mencionado arriba:

Postulado 5 bis: Si dos rectas L y M cruzan a una tercera recta N en ángulos rectos y en diferentes puntos, entonces L y M son paralelas, es decir, nunca se intersectan entre sí.

Aunque nuestra experiencia cotidiana del espacio nos dice que el 5º Postulado es correcto, hay un grado de elaboración en su planteamiento que lo pone aparte de los otros, que son mucho más sencillos, y cuya comprobación está al alcance de la experiencia cotidiana. Por ejemplo, si a usted le dan una hoja de papel, una distancia de cinco centímetros y un punto, tomará un compás y dibujará un círculo, comprobando el 3er Postulado. Sin embargo: ¿cómo se podría comprobar el 5º Postulado? El problema es que extender infinitamente una recta es algo imposible, y por lo tanto, la comprobación queda fuera de nuestro alcance si tomáramos dos ángulos de 89.9999999999999999999999 grados cada uno, por ejemplo, en vez de los 90 de un ángulo recto. Por estas razones, los matemáticos empezaron a razonar de otra manera: 1) intentando demostrar el 5º Postulado a partir de los otros cuatro, ó 2) empezando a experimentar con la idea de que el 5º Postulado no fuera cierto. Es decir, dada nuestra imposibilidad de comprobarlo en la experiencia a nuestro alcance, es lícito jugar con la idea de que no es cierto, suponiendo por ejemplo que las rectas L y M sí se juntan.

Estos experimentos mentales llegaron al descubrimiento de las Geometrías no Euclidianas, aquellas en donde el 5º Postulado se modifica, rechazando el planteamiento original de Euclides y poniendo en su lugar uno diferente, por ejemplo que L y M sí se juntan.

Y curiosamente, aunque la Geometría Euclidiana (aquella que acepta los 5 postulados de Euclides) es la que intuitivamente es la adecuada, resulta que sí tenemos al alcance de la mano un caso en donde vemos que el 5º Postulado no es cierto.

Considere usted el paralelo Ecuador en la superficie de la Tierra. Tomemos dos puntos A y B sobre ese paralelo, a una distancia de un metro entre ellos. En la recta E = Ecuador, sobre los puntos A y B tracemos sendas rectas, cruzando E con un ángulo de 90º, y ahora extendamos esas dos rectas, que llamaremos L y M, hacia el Norte. Observemos que nuestra construcción ha producido dos meridianos L y M, que por definición son las líneas que cruzan el Ecuador a 90º. Ahora bien, ¿qué pasa con los meridianos a medida que se acercan al Polo Norte? Siguen siendo meridianos, se van acercando unos a otros, y todos se juntan en el Polo Norte. Por lo tanto, hemos producido dos rectas (L y M) que cortan una tercera (E) a 90º y que más adelante, a unos 9900 km de distancia, se juntan. Hemos probado que la superficie de la Tierra es una geometría no euclidiana.

No está mal para una primera clase de Geometría, ¿verdad?


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