Einstein y el movimiento browniano

 

1-Partículas irritables

Robert Brown (1773-1858) fue un botánico escocés, fanático del trabajo y del orden, capaz de llevar registros minuciosos de todos los objetos que estudiaba, pero no era un “filósofo de la ciencia”, como lo expresó una vez Darwin: Brown tenía una enorme erudición de detalle sin poseer el vuelo de altura de Darwin, quien también era un gran observador de la Naturaleza pero también tenía la capacidad de hacer síntesis de sus observaciones y proponer nuevas teorías; Brown nada más observaba y anotaba. En 1801 viajó a Australia en barco, formando parte de uno de los muchos viajes de exploración que organizaron los ingleses en aquella época; permaneció cuatro años en la costa oriental de Australia, recogió miles de especímenes de plantas, y regresó a Inglaterra para dedicar el resto de su vida principalmente a la tarea de curador de colecciones botánicas.

En 1827 estudió los granos de polen de una flor salvaje recién descubierta en Norteamérica, Clarkia Pulchella; su objetivo era descriptivo, estudiar la forma y el tamaño de esos granos de polen. Había conseguido un microscopio más potente, en donde los diseñadores se las habían arreglado para eliminar la molesta aberración cromática (en los bordes aparecen colores como de un arco iris, lo que todavía sucede con binoculares modernos de mala calidad), y Brown esperaba poder realizar observaciones realmente minuciosas. Lo consiguió, pero de una manera inesperada: se encontró con que, extrañamente, las partículas de polen se movían, no podía fijarse su posición y era difícil así distinguir sus características. El movimiento era aleatorio, en todas direcciones, y no había manera de deshacerse de él. Investigó un poco para saber si lo perseguía la fatalidad, y encontró que hacía 150 años, el holandés Anthony van Leeuwenhoek se había encontrado con el mismo fenómeno, y había llamado “animalúnculos” a los granos de polen en movimiento.

Brown conjeturó que los granitos se movían porque estaban vivos, un recurso natural para un científico: encontrar una explicación mayor y fácil, en este caso la vida, para el movimiento incomprendido, algo parecido al “éter” que sirvió durante muchos años para darle un sustento a las ondas de luz que viajaban en el espacio.[1] Pero Brown tenía madera de científico y se atrevió a probar su conjetura, desecando los granos de polen (para quitarles la vida) y viendo si ya deshidratados seguían moviéndose. Resultó que sí, que el movimiento azaroso continuaba, y que sucedía lo mismo si en vez de polen utilizaba otras partículas diminutas, como polvo de rocas o polvo extraído de la Esfinge, guardada en el Museo Británico donde trabajaba como curador. Se vio obligado a eliminar a la vida como causante del movimiento, y dio al traste con la frase curiosa e indescriptiva que se había usado para el fenómeno: partículas animadas e irritables, porque hasta el polvo de piedras se movía. La ciencia no estaba suficientemente avanzada, y finalmente todo lo que consiguió Brown fue una situación contradictoria:

  • No había vida que impulsara a moverse a las partículas de polvo observadas
  • Tampoco se detectaba una influencia externa
  • Sin embargo, se movían.

Siguió curando sus colecciones y recolectando datos, sin dar pasos hacia la creación de teorías. Cuando murió, Darwin se quejó de que mucho había sido perdido con él, debido a su miedo excesivo a cometer un error. Las partículas irritables siguieron enojadas e ignoradas, hasta que llegaron nuevos avances para plantear nuevas conjeturas.

 

2-Teoría atómica de la materia.

Una de las técnicas que utilizan los maestros fabricantes de espadas samurái, para darles la dureza y la resistencia que tienen, es tomar una pieza de acero, ponerla al rojo vivo en un horno, aplanarla a martillazos y una vez que se ha adelgazado, doblarla sobre sí misma, repitiendo el proceso varias veces; un poco menos refinado, es lo mismo que hacen nuestras diosas tentadoras de la gula, nuestras gloriosas cocineras, al hacer gorditas o quesadillas: toman un trozo de masa en las manos, lo aplanan, lo doblan y lo ponen sobre el comal. Ahí terminan sus experimentos con respecto a la teoría atómica de la masa, pero los fabricantes de katanas continúan, y en cada ciclo hornear – aplanar – doblar añaden proporciones adecuadas de carbón y enfrían la hoja de manera diferente, para lograr el acero de la calidad deseada. El ciclo puede repetirse entre diez y veinte veces, y aquí es donde nosotros regresamos a la ciencia.

El primer trozo de metal tiene cero dobleces, el segundo son 2, el tercero son 4 (los dos anteriores aplanados y doblados sobre sí), el cuarto son 8 dobleces, y tenemos la serie de números 1=20, 2=21, 4=22, 8=23, … 1024=210,…, 32768=215; esto significa que si el forjador de espadas repite quince veces el proceso, habrá obtenido al final una espada que está formada por más de treinta mil capas delgadísimas de acero, en otras palabras: el grosor de una katana, algo así como 8 milímetros, ha sido conseguido superponiendo miles de láminas de grosor pequeñísimo. De esta manera vuelven compatibles dos propiedades antagónicas de los metales: dureza y flexibilidad[2].

Para nosotros, esto puede representar una “prueba” de lo que usualmente damos por sentado: la materia puede dividirse y subdividirse tanto como uno quiera: la experiencia cotidiana no nos indica que un trozo de alambre de cobre podría partirse en trocitos de menos de 1mm de largo, por ejemplo. Y sin embargo, ya desde la antigüedad el filósofo griego Demócrito (400 A.C.) había propuesto que toda la materia está compuesta en última instancia de átomos, pequeñas unidades indivisibles, como lo indica su nombre (sin-corte, en griego). Su propuesta, hecha a nivel teórico, no encontró muchos seguidores, y en el curso de los siguientes veinte siglos no hubo necesidad ni herramientas para plantear científicamente la existencia del átomo.

El científico inglés John Dalton (1766-1844), que es conocido por el nombre dado a la ceguera a colores, daltonismo, hacia 1803 observó la proporción rigurosa en que las sustancias se combinan para formar otras nuevas, por ejemplo el hidrógeno y el oxígeno, que producen agua. La fórmula de la reacción es 2H + O → H2O, dos partes de hidrógeno por una de oxígeno, invariablemente; Dalton no conocía la expresión H2O, él fue de los primeros que empezaron a conjeturar la manera en que conocemos a todas las sustancias, identificando sus componentes atómicos. Habiendo observado que el caso del agua se repetía al formar otras sustancias, la idea que tuvo fue que todas las cosas están compuestas en última instancia de átomos, y que éstos se combinan con átomos de otras clases siempre en proporciones fijas, que son relaciones aritméticas simples (como el agua y el bióxido de carbono CO2). Era una explicación sencilla de un hecho conocido, la proporción fija en que se combinan los elementos, pero todavía estaba a nivel de conjetura, no había una prueba científica.

Dalton encontró mucha oposición, por las razones dadas arriba principalmente: la experiencia cotidiana nos indica que podemos dividir y subdividir una sustancia tanto como queramos. Entre los científicos que decidieron adoptar sus ideas estaban los que estudiaban los gases, porque en ese caso, por lo amorfo de las masas gaseosas, la facilidad de cortarlas, el movimiento del viento en la atmósfera, todos esos hechos observados hacían natural la idea de que los gases estuvieran formados de átomos, que en este caso vagaban en libertad en el recipiente que contuviera el gas. Estos mismos científicos pensaron luego que los átomos del gas vagaban en el espacio y que sucedía que podían chocar entre ellos, y empezaron a conjeturar la existencia de una correlación entre la temperatura del gas y la velocidad a la que se mueven los átomos: a mayor temperatura, mayor velocidad de los átomos y mayor número de colisiones. Estas conjeturas se facilitaban porque se podían hacer muchos experimentos, por ejemplo tener un gas a temperatura ambiente en un cilindro con un pistón encima, luego calentar el pistón, el aire se calienta y empieza a empujar el pistón hacia arriba; planteado de manera diferente, al aumentar la temperatura de un gas, invariablemente aumenta la presión que el gas ejerce sobre las paredes. Estas observaciones condujeron a crear la llamada teoría cinética del calor, que dice que el calor es el resultado del mayor movimiento de los átomos o moléculas de un gas, en otras palabras, que la temperatura de un gas no es otra cosa que la velocidad a que se están desplazando los átomos del gas.

Ludwig Christian Wiener aplicó esta teoría al movimiento de partículas descrito arriba: pensó que también el agua subía o bajaba de temperatura porque sus moléculas estaban más o menos agitadas, y que el movimiento de estas moléculas era lo que hacía que se movieran también las partículas, al chocar las moléculas contra la partícula de polen o el grano de polvo. La idea era correcta, pero no atrajo mucha atención y le faltaba el planteamiento cuantitativo de experimentos, para comprobarla. Descubrieron también que en cristales de cuarzo había en ocasiones pequeñas burbujas que se habían formado hacía millones de años, la burbuja tenía algún líquido, en el líquido había partículas de polvo, y esas se movían como los antiguos granos de polen. En este último caso, alguien conjeturó que se trataba de un movimiento perpetuo, pero la ciencia ya estaba madura, le recetaron la 2ª Ley de la Termodinámica (que prohíbe las máquinas del movimiento continuo[3]) y exigieron una fuerza que estuviera moviendo esas partículas de polvo; no había manera de achacarlo a la vida, ni a influencia externa, pero en cambio la idea de que la temperatura del cuarzo y de la gota de agua atrapada hacía vibrar las moléculas del agua y mover el polvo, era una idea aceptable.

4-Entropía.

Cuentan que al terminar la 2ª Guerra Mundial quedó hundido en la bahía frente a Río de Janeiro un submarino alemán, y naturalmente había interés para localizarlo y rescatarlo. Buzos profesionales, buscadores de perlas, pescadores con sus redes, todos lo intentaron todo, sin éxito. Vinieron las autoridades brasileñas, tampoco lo encontraron. Llamaron a la marina de EEUU, tampoco. Finalmente se dieron por vencidas las autoridades y decidieron convocar a un panel de científicos para que les dijeran dónde estaba el submarino y la forma de extraerlo a la superficie. Los científicos propusieron tres ideas:

1)      Desecar la bahía, es decir vaciarle toda el agua para que el submarino apareciera visible en el fondo, y luego jalarlo con alguna enorme grúa.

2)      Llenar la bahía de mercurio, que tiene un peso específico muy grande (13.579 kg/litro, el agua tiene 1kg/litro), lo que haría flotar al submarino, y luego remolcarlo con algunos boteros del Volga, que podrían caminar sobre la superficie de mercurio.

3)      Inundar la bahía de submarinos y tratar el problema con los métodos de la Mecánica Estadística.

Las leyes de la Mecánica de Newton, aplicadas a todas las partículas del universo, nos darían mediante los cálculos apropiados la evolución futura de estas partículas, es decir, el futuro del universo. Eso es en teoría, haciendo la enorme suposición que las únicas fuerzas que intervienen en la evolución del mundo son las mecánicas (no están consideradas reacciones químicas ni nucleares, por ejemplo); y además de todo, aunque solamente existieran fuerzas mecánicas, está el problema del número realmente inimaginable que pudieran llegar a alcanzar todas las partículas del universo: los granos de polvo en mi escritorio, los granos de arena en todas las playas del mar, las gotas de agua del mar, añadiendo meteoritos y todo lo que se pueda encontrar en planetas y estrellas lejanos. En otras palabras, las leyes de Newton están muy bonitas pero tienen aplicación limitada, en este caso por nuestra ignorancia de cuántas partículas hay, y por nuestra imposibilidad para resolver, con las leyes de Newton, inclusive casos muy sencillos como el Problema de los Tres Cuerpos (imaginemos que el universo consta de tres planetas nada más; dadas las posiciones y velocidades iniciales de ellos, ¿cómo evolucionarán a futuro?)

Al darse cuenta de que en un vaso de agua hay trillones de moléculas, que lo mismo pasa en una cámara con gas, los científicos razonaron que el enfoque individual, analizar el movimiento de cada molécula para ver cómo se comporta una masa de gas o un líquido, es imposible. Y decidieron atacarlo en términos estadísticos, olvidándose de las moléculas individuales y observando nada más los resultados del conjunto de moléculas. Así fue como nació la Mecánica Estadística, un híbrido entre la mecánica newtoniana, la teoría de probabilidades y la fe científica en que el Universo, es decir la creencia de que a pesar de todo, sigue algunas leyes en su comportamiento; en otras palabras, aunque Dios juegue a los dados con el universo, confiamos en que los dados no estén demasiado cargados.

Habiendo incorporado esta herramienta al problema de estudiar los gases, se presentan muchos problemas que eran inexpresables antiguamente. Por ejemplo, si tenemos una masa de aire caliente la atmósfera, estudiar la distribución de calor en términos estadísticos y plantear una posible evolución futura. Ahí entró en juego una observación que todos hemos hecho alguna vez: cuando se colocan juntos dos cuerpos a diferente temperatura, después de un tiempo las dos temperaturas se igualan a una suerte de “promedio” de las temperaturas originales, como un cubo de hielo en un vaso de agua (el hielo se derrite, es decir se calienta), un vaso caliente sobre una mesa (se enfría). La teoría cinética del calor (la que dice que calor = movimiento de los átomos) permitía una explicación muy sencilla de por qué se derrite un cubo de hielo: las moléculas de agua más caliente chocan con las del hielo, que se mueven a velocidad menor, en el choque se baja la velocidad de la molécula rápida y se acelera la otra molécula, hasta que al final, ya no hay diferencias de velocidad entre las moléculas y no hay, por lo tanto, diferencias de temperatura que nivelar.

El científico Rudolf Clausius creó en 1865 el término entropía para referirse a estos hechos. El concepto puede definirse así: en un sistema físico cerrado (aislado del resto del mundo), la entropía es la energía que no se puede utilizar. En el caso del agua y el hielo, tanto el agua como el hielo tienen energía calorífica pero solamente se puede utilizar como energía la diferencia de temperatura entre el agua y el hielo; ahora bien, a medida que el hielo se derrite, es menos la energía utilizable para realizar un trabajo (subir la temperatura del hielo), hasta que al final, cuando todo sea agua a la misma temperatura, toda la energía calorífica de esa agua es inutilizable para producir un cambio. Otro ejemplo es una cascada de agua: el agua en la punta tiene una energía potencial dada por la altura sobre el centro de la Tierra, pero solamente es utilizable la diferencia entre la energía potencial arriba menos la energía potencial abajo, donde cae el agua. Si el agua de abajo subiera de nivel hasta llegar a la altura del inicio de la cascada, en ese momento la entropía alcanza un máximo, porque toda la energía potencial (el peso del agua) estaría al mismo nivel y sería inutilizable para producir una cascada.

Clausius acuñó una frase para expresar este hecho: Enthropie strebt ein Maxium zu (la entropía tiende a un máximo), lo que en términos generales significa que dejados a su libre curso, los sistemas físicos “nivelan” sus energías hasta que no hay diferencias, y entonces toda la energía del sistema es energía inutilizable.

Hay un aspecto muy importante de la entropía que nos ayuda a distinguir el pasado y el futuro: el futuro es en el sentido del crecimiento de la entropía. Esto es muy importante porque las leyes de Newton son indiferentes en cuanto al tiempo, por ejemplo: al pegarle con el palo a una pelota de golf, ésta sale disparada y va a dar algunos cientos (o decenas) de metros adelante. Sin embargo, podemos imaginar que la pelota está haciendo viaje de regreso, se encuentra con el palo de golf ahí donde había salido disparada, la pelota empuja al palo hacia atrás, aminora su velocidad y queda finalmente en el lugar donde estaba. Este es un ejemplo mecánico, que podríamos correr hacia atrás en una película y no sería demasiado raro; sin embargo, consideremos un pedazo de leña ardiendo, salen flamas y el humo se eleva por la chimenea; si viéramos la película al revés, ese sí sería un fenómeno totalmente inaceptable: la flecha del tiempo, dada por el crecimiento de la entropía, no es reversible.

Hacia 1900 el genio francés Henri Poincaré estudió los resultados de Clausius y probó un teorema que complicó grandemente las cosas. Considerando un sistema cerrado S, la entropía E en S puede en principio tomar valores entre 0 y el máximo, que corresponde a la energía total del sistema. Clausius había dicho que con el tiempo, la entropía E tendería a su máximo, en este caso a la energía total del sistema, y de una manera natural los científicos pensaron que la entropía iría creciendo paulatinamente en el transcurso del tiempo. Sin embargo, Poincaré probó que todos los arreglos posibles de los átomos y moléculas en el sistema eventualmente se darían, es decir, en un momento podrían estar muy desordenados y un poco después ordenarse, luego volverse a desordenar, etc. A la larga, la entropía se encaminaba hacia el máximo, pero el camino no estaba pavimentado, sino era una brecha.

Esta aparente contradicción dio energías a los opositores de la teoría atómica, los que no creían en la existencia del átomo (aunque la energía repentina que habían adquirido ellos era una comprobación del teorema de Poincaré), y se hacía necesaria una comprobación científica de la teoría atómica. El científico Boltzman defendió su posición diciendo que, dada la naturaleza errática del movimiento de las moléculas de un gas, a veces podían juntarse muchos átomos viajando en la misma dirección, chocar contra las paredes del contenedor, y hacer sentir de esa manera una mayor presión. Esta explicación podría aplicarse al movimiento de los granos de polen que hemos analizado, pero seguía siendo una explicación cualitativa y hacía falta la magia que solamente puede realizarse en Ciencia mediante las matemáticas.

4-Einstein

Hacia 1905 Albert Einstein no había podido conseguir trabajo en una universidad y se empleó en la Oficina de Patentes de Berna, Suiza, lo que le dio muchos ratos libres que utilizó para crear cinco artículos milagrosos, entre ellos el original sobre la Teoría de la Relatividad. Conocía los trabajos de Boltzman y estaba familiarizado con las herramientas utilizadas, pensaba que los movimientos al azar de las moléculas de agua eran la causa del movimiento errático de los granos de polen, y decidió atacar el problema del movimiento browniano para realizar un cálculo, prediciendo el movimiento de las partículas de polen. Había dos enfoques posibles a este problema:

1)      Calcular directamente la trayectoria de una partícula, como se calcula la trayectoria de una bala que sale disparada de un cañón. Este enfoque el francamente imposible, dada la naturaleza errática de los movimientos de las moléculas de agua que golpean al polen.

2)      Calcular el tiempo promedio que tardaría una partícula en desplazarse una cierta distancia. Sería un resultado menos preciso, pero también importante, y que podría ser soluble.

Einstein estaba convencido de que la naturaleza errática de los movimientos de las moléculas de agua NO produciría un efecto neto en la partícula de polen, sino que la movería de una manera también errática, pero sí la movería. Sus cálculos predijeron que en agua a 17o C, las partículas de un diámetro de 0.001 mm (equivalente a 10,000 veces el tamaño de un átomo), se desplazarían horizontalmente 0.006 mm/minuto.

Poco tiempo después, en 1908, el investigador francés Jean Perrin produjo varios experimentos muy minuciosos en donde comprobó que las predicciones de Einstein se cumplían. Juntos, los cálculos de Einstein y los experimentos de Perrin, se consideran la prueba definitiva de la existencia del átomo. Ambos científicos recibieron sendos Premios Nobel por sus trabajos.

La gráfica mostrada fue preparada por Perrin, registrando el desplazamiento de partículas de polen; tomaba la posición cada 30 segundos, y unía con una línea recta posiciones sucesivas.

observaciones de jean perrin


[1] El éter está tratado en el artículo http://jlgs.com.mx/articulos/ciencia/busqueda-del-espacio-absoluto/

[2] Recomiendo ampliamente El Ascenso del Hombre, de J. Bronowski. El capítulo 4 describe la manera de fabricar espadas.

[3] Lo más cercano a una máquina de movimiento continuo que tenemos a nuestro alcance es el Sol, que puede leerse en artículo http://jlgs.com.mx/articulos/ciencia/la-maquina-del-movimiento-continuo/