Carbono-14

1-El carbono, base de nuestra vida.

Es posible que haya otras formas de vida, pero la que conocemos está basada en el carbono. La razón es la gran habilidad que tiene este elemento químico para formar otros compuestos, juntándose con hidrógeno, nitrógeno, azufre, oxígeno, etc., y esto a su vez depende de un concepto químico que se llama valencia, que podemos interpretar como el número de “ganchos” que tiene un átomo para juntarse con otros átomos de manera estable, produciendo un nuevo compuesto. La fórmula más famosa de todas en química, la del agua, es H2O, lo que significa que un átomo de oxígeno (O) se junta con dos átomos de hidrógeno; la valencia de H es 1, la de O es 2. El carbono tiene valencia 4, y se puede juntar entonces con dos átomos de oxígeno, formando bióxido de carbono: CO2, pero también su valencia puede distribuirse y juntarse con dos átomos diferentes, como el ácido cianhídrico HCN, donde H-C utilizan una valencia y C≡N utiliza las otras tres.

A diferencia de los compuestos (átomos unidos entre sí por medio de valencias), las mezclas son simplemente compuestos que están juntos en un mismo espacio pero no están unidos por valencias. El ejemplo clásico es el aire, que es mezcla de nitrógeno y oxígeno principalmente.

El carbono es muy abundante en la corteza terrestre (ocupa el lugar 15º) y es parte obligatoria de todos los seres vivos, plantas, algas, animales, humanos, y se sospecha inclusive que los espíritus están basados en él. Tradicionalmente la química se divide en dos partes: orgánica e inorgánica, donde la orgánica es precisamente la que estudia los compuestos derivados del carbono.

El carbono tiene número atómico igual a 6. Recordemos que los átomos están formados de dos partes, núcleo y electrones. El núcleo está en el centro (como el Sol en el sistema solar) y los electrones giran alrededor del núcleo (como los planetas alrededor del sol); esta es la descripción más frecuente del átomo, no está completa, pero para efectos de lo que describimos aquí es suficiente. (Por otro lado, podemos consolarnos pensando que ni siquiera los físicos han acabado de entender cómo funcionan los átomos, el papel de las partículas y subpartículas, etc.) El núcleo está formado por los neutrones (carga eléctrica = 0) y los neutrones (carga eléctrica = 1), y los electrones tienen carga eléctrica = -1. El número atómico de un átomo es la cantidad de protones que tiene en su núcleo, y este número se ha utilizado como base para hacer la llamada Tabla Periódica de los Elementos (creada por Dmitri Mendeleiev en 1869), donde numeran a los elementos químicos desde el 1 hasta el que llegue (actualmente van en el 118). Los primeros diez elementos de la tabla son

  1. H (hidrógeno)
  2. He (helio)
  3. Li (litio)
  4. Be (berilio)
  5. B (boro)
  6. C (carbono)
  7. N (nitrógeno)
  8. O (oxígeno)
  9. F (flúor)
  10. Ne (neón)

El número atómico nos dice cuántos protones hay en el núcleo. Usualmente hay la misma cantidad de electrones, pero la cantidad de neutrones puede variar, no hay una regla fija. La tabla nos va indicando la progresiva complejidad de los átomos, desde el más simple de todos, el hidrógeno, que contiene un protón en el núcleo, sin neutrones, y con un solo electrón. El neón (Ne) tiene 10 protones, 10 electrones, y la variedad más frecuente también tiene también 10 neutrones. El número atómico nos dice de cuál elemento se trata: por ejemplo, 7 es el nitrógeno (N), 79 es el oro (Au), 47 es la plata (Ag), 80 es el mercurio (Hg), 92 es el uranio (U), etc. El peso atómico es número de protones + número de neutrones, por ejemplo Ne tiene peso atómico 20.

Durante mucho tiempo se creyó que cada elemento químico tenía una sola variedad, pero a principios del siglo XX se descubrió que hay muchos elementos que tienen isótopos, es decir, versiones del mismo elemento con diferente número de neutrones; como dije arriba, el caso más frecuente del neón es el que tienen 10 neutrones, y por lo tanto este isótopo tiene peso atómico = 20 = 10 electrones + 10 protones. Se denotan los isótopos con el símbolo atómico y el número atómico arriba a la izquierda (20Ne), con nombre + guión + número atómico (neón-20), o con símbolo + guión + número atómico (Ne-20).

Los isótopos más famosos son los asociados a la radioactividad, una propiedad que tienen ciertas sustancias como el uranio-238 (= 235U = U-238) de descomponerse espontáneamente, generando radiación y sufriendo mutaciones a otros elementos o a isótopos. En el camino de descomponerse una y otra vez, hasta que llegan a un elemento estable (uno que ya no se descompone), junto con la radiación se va emitiendo energía, y esta propiedad es la base la energía atómica y de todos los desarrollos nucleares, tanto pacíficos como militares.

El carbono también tiene isótopos. El más abundante de todos es el carbono-12 = 12C = C-12, que no es radioactivo, es decir, se conserva estable, pero una pequeña porción del carbono existente en la Tierra es carbono-14 = 14C, que sí es radioactivo y se forma en la atmósfera cuando los rayos cósmicos llegan ahí, y un neutrón choca con átomo de nitrógeno (número atómico = 7, peso atómico = 14), descomponiéndolo:

14N+ n → 14C + p    (nitrógeno-14 + neutrón producen carbono-14 + protón)      (1)

Resulta que el carbono-14 sí es radioactivo, y tiene una vida media = 5,740 años, lo que significa que si tuviéramos un kilo de carbono-14, al cabo de 5,740 años la mitad se hubiera descompuesto en otra cosa y nos quedaría la mitad; luego de otros 5,740 años se habrá descompuesto la mitad de la mitad que nos quedaba (la cuarta parte) y nos quedaría la cuarta parte; luego de otros 5,740 años la mitad de lo que quedaba, etc. La descomposición del carbono-14 produce de vuelta nitrógeno:

14C  →  14N+ e + ve   (carbono-14 se descompone en nitrógeno + electrón + electrón antineutrino) (2)

El carbono-14 es muy poco abundante en la atmósfera, es el 0.0000000001%. Una vez generado de esta manera, se mezcla con el resto del aire, va dar al agua, se combina con el oxígeno para formar bióxido de carbono y entra en el ciclo de vida de las plantas y de los animales. Como tanto plantas como animales consumen compuestos que tienen carbón y también los desechan (por ejemplo, el hombre come una fruta que tiene carbón, y libera carbón en forma de CO2 mediante la respiración), se ha observado que en los seres vivos, tanto plantas como animales, la proporción que hay de carbono-14 es la misma que hay en la atmósfera. Además se acepta que en la vida de la Tierra la intensidad de los rayos cósmicos no ha variado mucho, de tal manera que en los análisis relacionados con carbono-14 se parte de dos hechos:

  1. La cantidad de carbono-14 en la atmósfera de la Tierra siempre ha sido la misma, 0.0000000001%.
  2. Los seres vivos guardan en sus tejidos esa misma proporción de carbono-14

Hasta aquí, es como si dijéramos “todo sigue igual”, lo que es poco científico y además aburrido. Pero resulta que los seres vivos, al momento de morir, dejan de nutrirse, o lo que es lo mismo, dejan de recibir carbono, y por lo tanto el carbono-14 con el que se habían quedado al momento de morir (la misma proporción que habían tenido en vida) decae por desintegración radioactiva y ya no se resurte: es como un almacén que tuviera 100 botellas de agua, se vendían 10 al día y se resurtían 10 al día; por lo tanto, cada día empezaban otra vez con 100. Pero imaginemos que el proveedor deja de surtir, entonces las botellas se empiezan a consumir, hasta que eventualmente ya no hay; para saber cuándo dejó de surtir el proveedor, se cuentan las botellas que hay: por ejemplo, si son 50, quiere decir que hace 5 días que el proveedor no se aparece. Es lo mismo con el carbono-14, conceptualmente hablando, pero con matemáticas un poco más elaboradas.

2-Un poco de matemáticas.

Se ha comprobado experimentalmente que el número de átomos que se desintegran en una sustancia radioactiva durante un período de tiempo es proporcional a la cantidad de átomos totales. Para manejar el asunto, hagamos N = N(t) el número de átomos radioactivos de carbono-14 que hay en una muestra en el tiempo t. La observación cuidadosa de muchos científicos nos dice que los átomos que se desintegran por unidad de tiempo, ∆N/∆t (leído “delta N entre delta t”, algo parecido a “100 kilómetros/h” = cien kilómetros entre hora = velocidad) es igual a una constante λ multiplicada por N; la constante λ depende del elemento radioactivo en cuestión; para carbono-14 será una constante, para uranio-238 será otra, etc.

∆N/∆t  = λN               (3)

Esto es un dato experimental, comprobado muchas veces en pruebas de laboratorio. ∆t es un intervalo de tiempo, que puede ser un minuto, un segundo, 0.1 segundo, 0.0000001 segundo, lo que queramos. Para los que se acuerden de cálculo en la preparatoria, lo que estamos manejando es el paso inmediato anterior a la obtención de la derivada de N con respecto a t, dN/dt, puesta como lado izquierdo de la ecuación

\frac{\Delta N}{\Delta t} = \lambda N

            dN/dt = λN                (4)

No tiene nada de místico ni de complicado este asunto: piense usted que N(t) representa el desplazamiento en el tiempo t: salí de mi pueblo a las 10:00, a las 10:15 anoto la distancia en el odómetro y son 25km, por lo tanto N(15) = 25, a las 10:30 son 45km (N(30) = 45), etc. Al tomar intervalos de tiempo más pequeños ∆t, en vez de cada 15 minutos, y hacer la división ∆N/∆t, lo que obtengo son aproximaciones a la velocidad instantánea, es decir la velocidad que llevaba en el tiempo t. Esto es exactamente lo que hacen todos los velocímetros de todos los coches: calcular una derivada.

El resultado que obtuvimos en (4) es lo que se llama una ecuación diferencial, es decir una ecuación que nos proporciona información sobre una cierta función, en este caso N, en términos de su derivada. La solución de esta ecuación es

            N(t) = Mexp(-λt) = Meλt                   (5)

donde M es una constante y exp(x) es la función exponencial, que se expresa también como ex, el número de Euler e elevado al exponente x. Esta es la función más importante de todas las matemáticas, según Walter Rudin (al que no debe confundirse con Dmitri Rudin, personaje de Turgeniev, novela que vale la pena leer al parejo que Eugenio Onieguin de Pushkin, porque ambas tratan de un personaje del mismo tipo: el hombre vano, superficial, desencantado de la vida). La gran ventaja de esta función es que es muy conocida, al grado que viene en todas las calculadoras, en inclusive en la calculadora incluida en el Windows 7. El símbolo negativo en (5) aparece porque los átomos radioactivos se desintegran, es decir, conforme pasa el tiempo hay menos átomos, por lo tanto la función N(t) tiene que ser una función decreciente. La constante λ se toma positiva.

Una vez que se encuentra la solución de la ecuación (4), que es la exponencial Meλt, el resto es muy sencillo. Vamos a suponer que empezamos con una cantidad N0de átomos de carbono-14 en el tiempo t = 0. Por lo tanto tenemos que

N0 = N(0) = Meλ0 = Me-0= Me0 = M*1 = M                        (6)

Con lo que completamos la expresión para nuestra solución (porque ya conocemos las constantes N0 , λ)

N(t) = N0exp(-λt) = N0eλt                                                     (7)

De acuerdo a esta fórmula, la constante de desintegración λ se puede calcular como

λ = ln(2)/vida media

   = (logaritmo natural de 2)/vida media

   = 0.6931/vida media

   = 0.6931/5740 años                                                            (8)

para el caso del carbono-14.

3-De regreso al carbono-14.

Supongamos ahora que tenemos una muestra de un cierto tejido orgánico, como lino o madera, y queremos conocer su antigüedad. Aplicaremos lo que ya conocemos del carbono-14.

Nuestro inventario de conocimientos para este caso es:

  • K = cantidad de átomos de carbono-14 en muestra, ya que conocemos la muestra y hay tabulaciones que nos indican el número de átomos, dada una muestra radioactiva.
  • λ = 0.6931/5740 años
  • N0 = cantidad de átomos de carbono-14 al momento que murió la planta de donde se sacó la muestra (porque en vida de la planta es una proporción fija del peso total)

y con estos datos queremos conocer el tiempo transcurrido. Por lo tanto, en la fórmula (7)

K = N(t) = N0exp(-λt) = N0eλt                     

Donde conocemos todo excepto t. Para despejar a t, hacemos primero

            K/N0 = eλt      (pasamos N0 al otro lado, dividiendo)

aplicamos la función logaritmo natural = ln(), que es la inversa de la exponencial:

ln(K/N0)= ln(eλt) = – λt

y finalmente despejamos t, dividiendo entre –λ:

            t = ln(K/N0)/(-λ) = – ln(K/N0)/λ

De esta manera es como los científicos han podido calcular la edad de objetos importantes en arqueología, en restos históricos, y en arte. Un ejemplo es el hombre Kennewick, hallado en el estado de Washington, EEUU, que ha sido determinado de una antigüedad alrededor de 9,000 años; otro más son las huellas humanas en Acahualinca, Nicaragua, a las que se les calculó 5000 años antes de 1950, fecha que han tomado como referencia los arqueólogos.


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