Matemáticas, series infinitas, y bombas

1-Las flechas nunca se mueven

Los griegos y los judíos son los dos pueblos que definieron el rumbo de la cultura occidental: tanto en el pensamiento como en la religión, ellos son los creadores del camino que hemos seguido.

Había un pensador griego al que le gustaba poner a batallar a los demás pensadores, por medio de paradojas. Una paradoja es algo así como un mal argumento, pero muy bien hecho; una mentira bien contada, una buena declaración de amor (con la herencia a la vista) pueden dar una idea de lo que es una paradoja. Básicamente, una paradoja es un argumento que conduce a contradicciones. Zenón, el pensador que menciono, argumentó por medio de sus paradojas que la flecha lanzada por un arco no se mueve y que la liebre nunca alcanzará a la tortuga, si la tortuga arranca la carrera antes que la liebre.

El argumento va así. Supongamos que la flecha sale del punto A para llegar al B, y la distancia entre ellos es 1. Antes de llegar a B, la flecha tiene que pasar por el punto medio ½. Después tiene que pasar por la mitad de lo que falta, que es ½ + ¼ = ¾. Después tiene que pasar por la mitad que falta, que es ¾ + 1/8 = 7/8. Y así sucesivamente, tiene que pasar los puntos 15/16, 31/32, 63/64,…, etc. Dice Zenón para concluir: “antes de llegar al final, la flecha tiene que pasar por una infinidad de puntos, y para poder recorrer esa infinidad de distancias, la flecha tiene que utilizar un tiempo infinito. Por lo tanto, la flecha nunca llega a B”.

El argumento se cae luego de que uno se da cuenta de que Zenón no mide el tiempo y la distancia con la misma vara: en el caso de la distancia se toma la molestia de ir dividiendo la distancia faltante en mitad, cuarto, octavo, etc., pero en el caso del tiempo, nada más dice, parodiándolo un poco: “como sumamos un montón de intervalos de tiempo (de hecho un número infinito), el tiempo que acumulamos tiene que ser infinito”. Ese mismo argumento sería aplicable a la distancia (estamos sumando un número infinito de pequeñas distancias), pero ahí Zenón no dice que la suma sea infinita.

Para entender esta objeción, hay que observar que Zenón se sale en su argumento de la aritmética común y corriente, que nos permite sumar muchos números, pero no un número infinito. Básicamente la objeción sería: “maestro Zenón, dígame cómo suma usted ese montón de intervalos de tiempo, porque nada más dice que le da infinito pero no explica por qué”. En otras palabras, la objeción a Zenón es que usa el concepto de suma infinita sin definirlo. Es como pretender usar unas tijeras sin tenerlas en la mano.

Efectivamente, las sumas infinitas se estudiaron hasta muchos siglos después, con Cauchy y otros matemáticos. El tiempo ha demostrado que son enormemente útiles en muchísimos problemas técnicos y científicos: para calcular volúmenes, probabilidades, tablas actuariales, logaritmos, cuál es la velocidad de sustentación de un avión, cómo se comporta un gas sujeto a presión, etc. Una suma infinita es, diciéndolo sin mucha precisión, “sumar muchas veces”, y el nombre oficial es serie infinita. En este asunto, dada la imposibilidad de realizar una infinidad de sumas, lo que se hace es estudiar la tendencia de los primeros N sumandos, y ver i) si tienen tendencia a acercarse a algún valor, o ii) si se hace infinita, o iii) si tiene un comportamiento errático. Por ejemplo, sumar 1+1+1+1+1… nos da infinito. Una serie errática es 1-1+1-1+1-1+… cuyo valor oscila entre 1 y 0 dependiendo de que tomemos un número impar o par de sumandos.

Las series a las que se les puede calcular una tendencia se llaman series convergentes, y las otras se llaman divergentes. La serie manejada por Zenón es una serie convergente: se acerca a un valor finito cuando tomamos muchos sumandos. Veamos cómo es esto.

Viendo en detalle la paradoja, las distancias recorridas por la flecha, en los instantes de tiempo marcados por Zenón, son las siguientes. Utilizaremos la notación t1, t2, t3, …, tn … para referirnos a esos instantes de tiempo, Sn = distancia recorrida en los primeros n intervalos.

En t1 (en mitad del recorrido total): S1 = recorrido = 1/2

En t2 (en la mitad del resto): S2 =  ½ + ¼ = ¾

En t3 (en la mitad del resto): S3 = ½ + ¼ + 1/8 = 7/8

En t4 : S4 = ½ + ¼ + 1/8 + 1/16 = 15/16

Y podemos aventurar una fórmula para el n-ésimo paso:

En tn: Sn = 1/2 + ¼ + 1/8 + 1/16 + … + 1/2n = (2n-1)/2n = 1 – 1/2n

Que no es más que la sucesión de números ½, ¾, 7/8, 15/16, 31/ 32,…, (2n – 1)/2n

Efectivamente, vemos aquí una tendencia: lo que falta en el n-ésimo paso para llegar al número 1 es 1/2n, y así vemos que la suma se acerca a 1. Si lo aplicamos al tiempo recorrido, todo sería cuestión de manejar un factor V = velocidad (suponiendo velocidad constante en la flecha), y el tiempo utilizado en ese recorrido sería V.

No hay que crucificar a Zenón por querernos poner en dificultades. Hay que festejarle que tuvo el ingenio para inventar ese argumento, y más aún, hay que admirarle su genialidad por haber imaginado las series infinitas 2000 años antes de que se definieran formalmente.

2-La mosca que calculaba series

Las series se utilizan muchísimo en las matemáticas. Por ejemplo, la línea musical que sigue una voz al cantar puede representarse como una Serie de Fourier (suma de senos y cosenos). El volumen de agua que tiene una presa se calcula midiendo el fondo en varios puntos de la superficie, tratando de que esos puntos formen una cuadrícula, y luego se suman los volúmenes obtenidos (fondo en ese punto x la superficie de la cuadrícula), que es una forma aproximada de calcular una integral doble. El volumen real de la presa se calcula mejor si se hace la cuadrícula más fina, y más fina, y más fina,…, lo que nos lleva al concepto de integral doble; después de todo, los conceptos matemáticos son bastante sencillos.

Pero no todas las series son sencillas. Imaginemos dos bicicletas que empiezan su recorrido a 20 km de distancia entre sí, cada una de ellas moviéndose hacia la otra a una velocidad de 10km/hora. Entre las dos bicicletas está una mosca que empieza en un lado, viajando a 15km/hora; cuando se encuentra con la otra bicicleta rebota y regresa con la primera, rebota ahí y se va con la segunda, y así sucesivamente hasta que la mosca muere aplastada cuando las bicicletas chocan entre sí. El problema es: ¿qué distancia recorre la mosca?

La mosca va recorriendo intervalos cada vez más pequeños, y en teoría va a recorrer un número infinito de intervalos: I1+I2+I3+…+IN+… que es una serie infinita. Se puede calcular una expresión matemática para cada intervalo, pero no lo haremos aquí. Un día le plantearon al matemático húngaro John Von Neumann este problema y le pidieron que lo resolviera. A sus amigos les gustaba fastidiarlo con acertijos como éste, en los que ellos conocían la respuesta, y se divertían calculando el tiempo que empleaba en resolverlos. La razón era que Von Neuman tenía una computadora en su cabeza, capaz de realizar cálculos complicadísimos, en forma rápida y precisa. Cuando el problema era difícil y se tardaba en dar la respuesta, los amigos le picaban la cresta sugiriéndole respuestas, lo que lo hacía enojar porque era una especie de orgullo infantil de genio el poder resolver cualquiera de esos problemas.

El problema de la mosca se puede resolver fácilmente si se hace el siguiente razonamiento: las dos bicicletas viajan a 10km/h y empiezan a una distancia de 20km; por lo tanto, en una hora habrán llegado al punto medio del recorrido las dos, encontrándose. Esto significa que la mosca va a estar volando durante una hora a 15km/h, es decir la mosca recorrerá 15km. No hay que calcular la serie, se puede hacer así.

Von Neumann aceptó el problema y se puso a resolverlo. Después de unos instantes declara la respuesta: “la mosca voló 15km”, y los amigos se desilusionaron porque el problema estuvo muy fácil para Johnny, como le decían. Uno de ellos le dijo “no tiene valor tu respuesta, seguramente conocías el truco”. “¿Truco? No, ningún truco, yo calculé la serie mentalmente”.

3-Proyecto Manhattan

John von Neumann nació en 1903 en Budapest. Su padre era un banquero judío que dio a sus hijos una excelente educación, permitiéndoles estudiar lo que quisieran, sin forzarlos a dedicarse a los negocios. Los judíos europeos tenían siglos de experiencia en altas y bajas de la fortuna, y sabían que hoy podían ser banqueros y mañana quedarse en la calle; un seguro de desempleo que muchos padres judíos fomentaron fue proporcionar a sus hijos la mejor educación posible. El hijo era un genio que aprendió latín y griego a los 6 años, hubo necesidad de ponerle un tutor para que le enseñara a su ritmo y no al que enseñan en las universidades, publicó artículos de investigación a los 19 y obtuvo su doctorado a los 22. Lo invitaron en 1930 a trabajar en Princeton, y cuando empezó la guerra con Alemania fue uno de los impulsores del Proyecto Manhattan, que creó la bomba atómica.

En 1940 el futuro de la guerra estaba indeciso. Los que estaban enterados sabían que a fin de cuentas serían Alemania y Japón contra el resto del mundo, y en ese caso a la larga ganaría el resto del mundo. Pero también sabían que Alemania disponía de un gran equipo de científicos y que podrían desarrollar un arma mucho más poderosa que todas las que se conocían, y eso podría decidir la guerra, y no sería el primer caso en que una batalla se decidiera por razones técnicas. (En el Sitio de Siracusa, año 213 A.C., los barcos romanos que bloqueaban el puerto fueron incendiados a distancia: Arquímedes diseñó un gigantesco espejo formado por muchos espejos pequeños, apuntándolos de forma que concentraran los rayos de sol en las velas de las naves). Tanto en EEUU como en Alemania se conocía la enorme cantidad de energía encerrada en los átomos, y en teoría la liberación de esa energía podría producir una bomba de enorme poder. Se sabía que Alemania estaba en el camino de desarrollarla, y un grupo de científicos en EEUU, entre ellos Einstein, presionaron al gobierno para entrar en esta carrera. Este fue el origen del Proyecto Manhattan.

El gobierno creó varios lugares dispersos en su territorio para colaborar en este proyecto; el más famoso de todos, debido principalmente al renombre de los científicos que se juntaron ahí, fue Los Alamos, N.M. Von Neumann reclutó a varios colegas, en particular a uno de los narradores del trabajo que se realizó ahí: Stanislaw Ulam, un matemático judío polaco, que pertenecía a la escuela de Lwow, donde había nacido y donde había florecido mucho la matemática bajo la guía de Stefan Banach. Ulam da una lista de los nombres que se juntaron en Los Alamos: Robert Oppenheimer (director), Edward Teller, Hans Bethe, Jim Calkin, Weisskopf, Richard Feynmann, más otros muchos, y a veces se les unía Enrico Fermi. Varios de ellos obtuvieron el Premio Nobel. Era un ejército de talentos científicos como para poder realizar cualquier trabajo que se les encargara, en donde gozaron de esa combinación extraña para el mundo civil de libertad para hacer lo que les viniera en gana, siempre y cuando sacaran adelante el proyecto: organizaban sus horarios como les convenía, se juntaban en grupos grandes o pequeños para discutir problemas, llevaban agenda de los avances, solicitaban material al exterior para sus experimentos, seguramente tomaban café en cantidades industriales.

3-Secretos nucleares… de hace 70 años.

El problema que trataban de solucionar era sencillo en su planteamiento. Algunos materiales (como el Uranio, Radio, Plutonio) sufren lo que se llama descomposición radioactiva: por ejemplo, de repente un átomo de Uranio se descompone en un átomo de Plomo + una cierta cantidad de energía. Esto sucede espontáneamente, sin que se sepa cuáles átomos de 1 kg de Uranio se descompondrán primero y cuáles después. Los materiales radioactivos tienen una vida media, que es el tiempo en que la mitad de una cierta masa sufre descomposición. Son tiempos muy largos, del orden de miles de años. Hasta aquí, todo parece ser curiosidad científica, junto con la posibilidad de retratar los huesos utilizando los rayos emitidos por esos materiales (la primera fotografía con rayos X muestra la mano izquierda de Wilhelm Röntgen, su descubridor). Lo que llamó la atención de los gobiernos es que la energía liberada por un kilo de Uranio es enorme, con el inconveniente de que dejado a su transcurso natural, la liberaría en muchos miles de años. Los científicos se pusieron a pensar entonces en la posibilidad de acelerar esa descomposición de los átomos, y así llegaron al concepto de reacción en cadena, que sucede cuando los átomos no esperan a que les toque descomponerse, sino unos a otros se “empujan” para descomponerse.

Lo que está detrás de este concepto es que la energía liberada por los átomos que se descomponen, se libera en forma de rayos alfa, beta y otros, y puede suceder que uno de esos rayos vaya a chocar contra un núcleo del mismo material, y en ese caso, produce la descomposición del segundo núcleo. Si se consiguiera que muchos rayos de esos chocaran contra otros átomos, entonces tendríamos la reacción en cadena. ¿De qué depende? Ante todo del azar (no sabemos a dónde van a apuntar los rayos), pero lo podemos ayudar juntando muchos núcleos. Es como lanzar la pelota en el boliche: cuando están todos los pinos parados, la bola fácilmente puede tumbar varios; si quedan uno o dos, es más difícil atinarle. En otras palabras, lo que necesitamos es tener mucho material radioactivo junto para que se produzca la reacción en cadena.

¿Qué significa en este contexto “junto”? Los científicos llegaron a estimaciones teóricas acerca de la cantidad de Uranio y Plutonio que provocarían una reacción en cadena (la masa crítica), si tuvieran reunidas esas cantidades. Conociendo el valor de la masa crítica, usted podrá decir: “pues júntenla y ya tienen su bomba, ¿no es así?” No es así, para empezar porque es semejante (pero enormemente más peligroso) a acercar un cerillo encendido a un litro de gasolina: puede encenderse inmediatamente toda la gasolina. Toda la tecnología de los motores de combustión está basada en este principio tan sencillo (la gasolina libera energía cuando se quema), y ya ve usted lo complejo y elaborado que es esa tecnología.

En el caso de la reacción en cadena, los científicos llegaron rápidamente a un punto de partida: tengamos por separado las dos mitades de la masa crítica (para que no haya explosión), y juntémoslas (cuando queremos que explote). El problema es juntarlas, por dos riesgos principales. El primero es que en el proceso de acercar esas mitades puede producirse la reacción en cadena antes de tiempo, y el segundo es que pueden producirse pequeñas combustiones (mini-bombas atómicas) donde que explotaría solamente una parte del material y dispersaría el resto, sin que todo el material radioactivo presente participara en la explosión, que es de lo que se trata. Como usted ve, el asunto ya se ha complicado mucho, porque tienen que hacerse infinidad de cálculos teóricos antes de cualquier experimento, porque la manipulación de esas sustancias es muy peligroso, etc. Afortunadamente es así, porque de otra manera la humanidad ya se hubiera terminado.

En la película La suma de todos los miedos, de la saga del agente Jack Ryan que escribió Tom Clancy, los norteamericanos detectan a tres científicos ausentes en una revisión de rutina a una planta nuclear rusa donde están desmantelando bombas nucleares. Uno de los científicos es un matemático experto en geometría de altas explosiones. Cuando vi la película por primera vez no supe por qué un matemático con esa especialidad estaría envuelto en una intriga nuclear. Resulta que este científico se dedicaba a estudiar las direcciones en que salen disparados los rayos alfa y beta en la descomposición explosión nuclear, y a ver la posibilidad de que vayan a golpear a otro átomo, provocando otra descomposición. En este contexto se trata de maximizar las probabilidades de colisión entre rayos y átomos. Para esto, lo mejor es un espacio muy reducido conteniendo muchos átomos radioactivos, y que todo suceda en un tiempo muy pequeño (sin esperar la vida media). Para conseguirlo habría que comprimir el material radioactivo, para que al estar más cercanos los átomos, aumente la probabilidad de colisiones. Piense usted en estar parado esperando un camión en un pueblo, o intentar subirse al metro. En el primer caso, la probabilidad de colisión (que usted empuje o sea empujado por otro pasajero) es casi cero, en el metro es casi certeza. ¿Por qué? Porque en el metro hay miles de pasajeros confinados en un espacio pequeño. El realizar cálculos de colisiones en estas circunstancias lleva necesariamente a utilizar series infinitas, recordando el inicio de este artículo.

Los científicos de Los Alamos, después de varios análisis, se decidieron por dos alternativas. La primera era poner al final de un tubo metálico una cantidad de Uranio, y desde el otro extremo dispararle una bala que contuviera más Uranio; al chocar la bala se juntaría la materia crítica y se tendría la explosión. La segunda alternativa era guardar el Uranio en una bola de metal, con el uranio muy comprimido pero no demasiado. Esa bola estaría contenida en una bola más grande, y entre ambas superficies habría un explosivo convencional, como TNT, que al explotar comprimiría la bola interior, así se comprimiría el material radioactivo y se produciría la explosión. Las dos bombas atómicas arrojadas sobre Japón utilizaron estas dos técnicas.

La teoría es relativamente sencilla, pero la realización es enormemente compleja. Se requieren cálculos matemáticos muy variados y difíciles de ejecutar: series infinitas y otros demonios matemáticos, como esas que no quería definir Zenón. En 1943 el gobierno de EEUU no podía permitirse el fracaso, y juntó a los talentos científicos más capaces para este proyecto.

Las aplicaciones pacíficas de la energía nuclear utilizan el mismo principio de descomposición radioactiva. Tienen el material nuclear en un reactor, en donde están metidas varillas metálicas que pueden meterse hasta el fondo o sacarse parcialmente. Mientras más adentro esté la varilla, absorberá más rayos e impedirá que lleguen al material radioactivo. Si se saca la barra, se deja el libre curso de los rayos, pegan en más átomos radioactivos, y así aumenta la descomposición radioactiva y la generación de energía.

4-El golem en familia.

Muchos de los físicos y matemáticos presentes en Los Alamos eran judíos: Oppenheimer, Ulam, von Neumann, Teller, Weisskopf, Bethe, Leo Szilard, Richard Feynman. Todos ellos estaban particularmente comprometidos con el trabajo, puesto que la Alemania Nazi significaba la mayor amenaza contra los judíos en toda la historia, y fueron parte fundamental en el éxito del Proyecto Manhattan. Hace tiempo leí las palabras de una pensadora árabe que decía que “la ciencia moderna era judía”, dada la enorme cantidad de judíos en lugares importantes en todas las ciencias. Efectivamente: ha sucedido en el siglo XX algo semejante, con los judíos, a lo que pasó en el ámbito cultural hacia 1000-1200 con los árabes: los más destacados médicos, astrónomos, matemáticos y filósofos de esa época fueron árabes (Omar Khayam, Al-Ghazali, Avicena, Averroes). Los árabes se encargaron de traducir a los griegos y difundirlos en Europa, por ejemplo.

En el seno del Proyecto Manhattan se generaron también divisiones. Edward Teller quería hacer la super: la bomba de hidrógeno. Sin embargo, al terminar la guerra Oppenheimer se asqueó del militarismo y del uso de la ciencia para la destrucción y ya no quiso continuar, pero Teller insistió en la bomba H, que está basada en el principio opuesto al de la bomba A: aquí se trata de juntar núcleos de Deuterio y Tritio (isótopos = variaciones del átomo de hidrógeno) para que exploten y produzcan agua + una enorme cantidad de energía. Esta bomba es mucho más poderosa que la atómica, al grado que para poder explotar una bomba H, uno de los recursos es poner adentro una bomba A, que sirve como detonador. Imagínese usted el poder: la bomba A es como el cerillo que enciende la bomba H.

Un día se reunieron Stanislaw Ulam y Norbert Wiener (otro genio matemático, para variar judío) y comentaba Ulam que una de sus tías afirmaba ser descendiente del rabino de Praga llamado Judá Loew ben Bezabel, quien según la leyenda había creado el Golem, un ser hecho de barro con forma humana, grande y poderoso, para defender a los judíos de los ataques del emperador. El Golem nunca aprendió a pensar y se volvió peligroso para todos, judíos y gentiles, y terminaron por amarrarlo y encerrarlo en el ático de la Sinagoga Vieja de Praga (le recomiendo el poema de Borges El Golem, publicado en su libro El Otro, el mismo. Yo mencioné al Golem en mi artículo No somos nada). Cuando Ulam le dijo que una tía suya estaba emparentada con aquel rabino, Wiener le contestó filosóficamente “pues ya ves, todavía tenemos al Golem en familia”, refiriéndose a la bomba H que Teller se había empeñado en construir. Wiener no participó en el Proyecto Manhattan y era más bien pacifista.

5-La fábrica de genios.

El verano de 1938 Von Neumann invitó a Ulam a Budapest, una de las ciudades más hermosas del mundo. Estuvieron ahí unos días y después lo llevó a un lugar paradisiaco, Liliafüred, que es un castillo que funciona como hotel de lujo en la confluencia de los ríos Szivna y Garadna. Es un lugar de ensueño (en la página http://en.wikipedia.org/wiki/Lillaf%C3%BCred puede usted encontrar información, si quiere reservar en el hotel) y lo pudieron disfrutar gracias al presupuesto de la familia von Neumann. A estos dos científicos les gustaba juntarse y platicar las horas, contar chistes y hablar de ciencia. Uno de sus chistes era “no basta con ser rico, hay que tener dinero en Suiza”.

Desde Lillafüred viajó Ulam de regreso a Polonia siguiendo la ladera de los Montes Cárpatos, otros lugares de ensueño. Esta zona es importante porque fue el lugar de origen de muchos de los científicos húngaros (judíos en su mayoría) que después emigraron a Estados Unidos. Ulam cuenta en su autobiografía (Adventures of a Mathematician, University of California Press, 1991) que von Neumann especulaba que el origen de esa enorme cantidad de talentos podía haber sido una presión externa en toda la sociedad en esa parte de Europa Central, generando una sensación de extrema inseguridad en los individuos que los forzaba a la necesidad de producir algo inusual, o enfrentarse a la extinción.

Hay una anécdota de un pequeño granjero judío de la región que se llamaba Moyshe Wasserpiss (recuerde que Wasser significa agua, en alemán). Ganó algo de dinero y emigró a Budapest, donde mostró su talento y decidió cambiar su nombre a Herr Wassermann. Se le hizo chiquita la ciudad y se fue a vivir a Viena, donde le fue todavía mejor y ahora se llamaba Herr Wasserstrahl. Se compró un título nobiliario, y ahora era Herr von Wasserstrahl, viviendo en Berlín. Finalmente, emigra a la ciudad más importante de Europa, París, y ahí se llama Baron Maurice de la Fontaine.

Para los judíos así funcionó la presión externa, como le mencioné arriba para el caso de von Neumann: siendo un grupo social que no hace proselitismo (al revés del Cristianismo y el Islam), se sentían una minoría perpetuamente amenazada por el recuerdo de los ataques sufridos por sus padres o sus abuelos y sentían que tenían que hacer un esfuerzo extraordinario, ser extraordinarios, para poder sobrevivir. En mi opinión esto puede explicar la actitud, pero no el talento: por muy duro que estudie un universitario normal, no va a ser von Neumann ni Wiener ni Feynmann. El talento mostrado por los científicos judíos en el último siglo es un florecimiento de esa dotada raza, que en el caso de la energía atómica ha servido tanto para la creación como para la destrucción. El conocimiento no tiene ideología, es el uso que se le da lo que lo vuelve rojo, azul, blanco, verde o negro.

El amor de los científicos por su disciplina y la necesidad interior de hacer ciencia, está claramente reflejada en la nota necrológica que escribió Eugene Wigner sobre von Neumann, que murió de cáncer, probablemente gracias a la exposición repetida a material radioactivo. Decía que la mayor tristeza para ese genio, cuando supo que su fin se acercaba, era darse cuenta que con la muerte dejaría de pensar.